Задача 34958

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Найдите какое-нибудь такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число будет полным квадратом.

Подсказка

Если в числе A n знаков, то число, полученное приписыванием к числу A справа себя же, равно  (10ⁿ + 1)A.  Поскольку A меньше 10ⁿ, то  (10ⁿ + 1)  должно делиться на квадрат некоторого простого числа.

Решение

Заметим, что  10¹¹ + 1 = (10 + 1)(10¹⁰ – 10⁹ + 10⁸ – ... – 10 + 1)  делится на 11². Действительно, второй множитель представляет собой сумму 11 слагаемых, каждый из которых сравним с 1 по модулю 11. Поэтому подходит число  A = (10¹¹ + 1)·¹⁶/₁₂₁ = 13223140496.

Ответ

Например, 13223140496.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача