Задача 34961

Темы:    [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Дано 8 действительных чисел: a,b,c,d,,e,f,g,h. Докажите, что хотя бы одно из 6 чисел ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh неотрицательно.

Подсказка

Используйте векторы.

Решение

Рассмотрим на плоскости 4 вектора с координатами (a;b),(c;d),(e;f),(g;h). Указанные 6 чисел - попарные скалярные произведения этих векторов. Угол между некоторыми двумя векторами не превосходит 90⁰ (поскольку если отложить векторы от одной точки, то образуется 4 угла между соседними векторами, дающие в сумме 360⁰). Скалярное произведение таких векторов неотрицательно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача