|
|
 |
Условие
Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.
Подсказка
Если все углы отложены от одной точки O, то в предположении, что сумма углов меньше 360°, найдётся луч с началом в O, не покрытый углами.
Решение
Предположим противное – сумма углов меньше 360°. Фиксируем некоторую точку O плоскости и совершим параллельный перенос каждого угла, так чтобы его вершина совместилась с точкой O. Поскольку сумма углов меньше развернутого угла, то найдётся луч m с началом в точке O, который не покрывается перенесенными углами. Нетрудно видеть, что при выполнении обратного параллельного переноса каждый угол станет пересекать луч m не более, чем по отрезку (то есть возможно пересечение по отрезку, по точке или пустое пересечение). Таким образом, данные углы высекают на луче m конечное число отрезков. Следовательно, даже луч m и тем более вся плоскость не покрываются углами. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
