ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 34983
УсловиеДлина каждой из диагоналей выпуклого четырехугольника
больше 2. Докажите, что в этом четырехугольнике хотя бы одна
сторона имеет длину, большую 21/2.
ПодсказкаСамая длинная сторона видна из точки пересечения диагоналей
под углом, не меньшим 90 градусов.
Далее можно воспользоваться теоремой косинусов.
РешениеПусть ABCD - данный четырехугольник и O - точка пересечения его диагоналей. Один из углов AOB,BOC не меньше 90 градусов. Для определенности положим, что угол AOB не меньше 90 градусов. Обозначим AO=a,BO=b,CO=c,DO=d. По условию a+b+c+d больше 4, следовательно, одна из сумм a+b,c+d больше 2, для определенности, a+b больше 2. По теореме косинусов из треугольника AOB получаем: AB2=a2+b2-2ab*cos(AOB), что не меньше, чем a2+b2 (косинус угла AOB отрицательный). Далее, согласно неравенству о средних a2+b2 не меньше, чем (a+b)2/2. Но (a+b)2/2>22/2=2. Отсюда следует, что AB больше 21/2; таким образом, в четырехугольнике ABCD найдена сторона длины больше, чем 21/2. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке