Задача 34997

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству  ab = cd.  Докажите, что число  a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ + c²⁰⁰⁰ + d²⁰⁰⁰  составное.

Подсказка

Если  ab = cd,  то можно подобрать такие натуральные числа u, v, w, t, что  a = uv,  b = wt,  c = uw,  d = vt.

Решение

Поскольку ab делится на c, число c можно представить в виде  c = uw,  где u – делитель a, a w – делитель b (в качестве u можно взять, например, НОД(a, с)).  Тогда  a = uv,  b = wt,  где v и t – натуральные числа, и поэтому  d = vt.  Отсюда
a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ + c²⁰⁰⁰ + d²⁰⁰⁰ = (uv)²⁰⁰⁰ + (wt)²⁰⁰⁰ + (uw)²⁰⁰⁰ + (vt)²⁰⁰⁰ = (u²⁰⁰⁰ + t²⁰⁰⁰)(v²⁰⁰⁰ + w²⁰⁰⁰).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача