На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.

   Решение

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.

Подсказка

Рассмотрите выпуклую оболочку данных n точек (выпуклая оболочка множества точек - наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки).

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку M данных n точек (выпуклая оболочка множества точек - наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки). Фигура M является многоугольником с вершинами в некоторых из данных n точек (число вершин многоугольника M не больше n). Если M является n-угольником, то утверждение задачи верно. Пусть M является многоугольником с числом сторон, меньшим n. Тогда внутри него находится по крайней мере одна точка (обозначим ее через P) из n данных точек. Разобьем многоугольник M на треугольники диагоналями, проведенными из одной вершины. Точка P окажется внутри или на границе одного из этих треугольников (назовем его вершины A, B, C). Тогда четверка данных точек A, B, C, P не образует вершин выпуклого четырехугольника, что противоречит условию.

Источники и прецеденты использования