Задача 35007

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите все пары натуральных чисел  (x, y),  удовлетворяющие уравнению  xy – x + 4y = 15.

Подсказка

Прибавьте к обеим частям уравнения число так, чтобы левая часть разложилась на множители.

Решение

Запишем уравнение в виде  x(y – 1) + 4(y – 1) = (x + 4)(y – 1) = 11.  Поскольку  x + 4  и  y – 1  – целые неотрицательные числа, имеем два варианта:  x + 4 = 1,
y – 1 = 11  или  x + 4 = 11,  y – 1 = 1.  Первая возможность отпадает, так как x получается отрицательным. Во втором случае получаем  x = 7,  y = 2.

Ответ

(7, 2).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача