Решите уравнение  (x + 1)² + (x + 2)² + ... + (x + 10)² = (x + 1 + 2 + ... + 10)².

   Решение

Тема:    [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите сумму 6+66+666+...+666..6, где в записи последнего числа присутствуют n шестерок.

Подсказка

Число, записываемое c помощью k шестерок, равно 2(10^k-1)/3.

Решение

Число, записываемое c помощью k девяток, равно (10^k-1), следовательно, число, записываемое c помощью k шестерок, равно 6(10^k-1)/9=2(10^k-1)/3. Поэтому сумма 6+66+666+...+666..6 равна 2/3((10-1)+(10²-1)+...+(10ⁿ-1)) = 2/3((10+10²+...+10ⁿ)-n). Во внутренних скобках стоит геометрическая прогрессия. Ее сумма равна 10+10²+...+10ⁿ = (10ⁿ⁺¹-10)/9. Итак, окончательно получаем, что исходная сумма равна 2(10ⁿ⁺¹-10)/27-2n/3.

Источники и прецеденты использования