Условие
Внутри угла расположена точка O. Как провести отрезок AB с концами на
сторонах угла, проходящий через точку O, который делится
точкой O пополам?
Подсказка
Если одну сторону угла отразить симметрично относительно точки O,
то точка пересечения отраженной стороны с другой стороной угла
будет являться концом искомого отрезка.
Решение
Обозначим через C вершину угла, и через CK и CL - его стороны.
Будем строить искомые точки A и B на сторонах CK и CL
соответственно. Заметим, что поскольку точка B должна являться образом
точки A при цетральной симметрии относительно точки O,
точка B лежит на луче C'K', который симметричен лучу CK
относительно точки O.
Отсюда вытекает следующее построение отрезка AB.
Строим луч C'K' (это легко сделать - достаточно отразить точку C
и некоторую другую точку на луче CK
симметрично относительно точки O); затем находим точку пересечения
луча C'K' с лучом CL - это и будет искомая точка B.
Точка A строится как точка пересечения прямой OB с лучом CK.
Нетрудно проверить, что указанное построение всегда возможно
и дает единственый отрезок AB с нужным свойством.
Источники и прецеденты использования