ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35023
Темы:    [ Построения (прочее) ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри угла расположена точка O. Как провести отрезок AB с концами на сторонах угла, проходящий через точку O, который делится точкой O пополам?

Подсказка

Если одну сторону угла отразить симметрично относительно точки O, то точка пересечения отраженной стороны с другой стороной угла будет являться концом искомого отрезка.

Решение

Обозначим через C вершину угла, и через CK и CL - его стороны. Будем строить искомые точки A и B на сторонах CK и CL соответственно. Заметим, что поскольку точка B должна являться образом точки A при цетральной симметрии относительно точки O, точка B лежит на луче C'K', который симметричен лучу CK относительно точки O. Отсюда вытекает следующее построение отрезка AB. Строим луч C'K' (это легко сделать - достаточно отразить точку C и некоторую другую точку на луче CK симметрично относительно точки O); затем находим точку пересечения луча C'K' с лучом CL - это и будет искомая точка B. Точка A строится как точка пересечения прямой OB с лучом CK. Нетрудно проверить, что указанное построение всегда возможно и дает единственый отрезок AB с нужным свойством.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .