Задача 35029

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Подряд выписаны числа 2²⁰⁰⁰ и 5²⁰⁰⁰. Сколько всего выписано цифр?

Подсказка

Если число 2²⁰⁰⁰ содержит m цифр, то 10^m-1<2²⁰⁰⁰<10^m.

Решение

Пусть число 2²⁰⁰⁰ содержит m цифр, а число 5²⁰⁰⁰ содержит n цифр. Тогда справедливы неравенства: 10^m-1<2²⁰⁰⁰<10^m, 10^n-1<5²⁰⁰⁰<10ⁿ (неравенства строгие, поскольку степень двойки или пятерки не равна степени десятки). Перемножив эти неравенства, получаем: 10^m+n-2<10²⁰⁰⁰<10^m+n. Отсюда следует, что показатель 2000 заключен между m+n-2 и m+n, поэтому 2000=m+n-1 и m+n=2001. Это означает, что всего выписана 2001 цифра.

Ответ

2001.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача