Условие
На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек.
Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на
черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы
отпечатки от мела на столе при этих способах были разными.
(Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)
Подсказка
Если предположить противное, то на каждой грани
должна быть нарисована одна и та же "картинка" из меловых точек.
Решение
Предположим противное - каждый способ постановки куба
дает один и тот же отпечаток. Это означает, что на каждой грани
нарисована одна и та же "картинка" из меловых точек, причем
эта "картинка" переходит в себя при четырех поворотах на углы
0
0, 90
0, 180
0, 270
0
вокруг центра грани.
Пользуясь сказанным выше, получаем, что мелом отмечены либо все 8
вершин, либо ни одной.
Таким образом, помимо вершин, отмечено 100 или 92 точки.
Пусть некоторая меловая точка K отмечена на ребре AB куба.
Нетрудно видеть, что вместе
с ней на каждом ребре должны быть отмечены мелом точки,
находящиеся на расстоянии AK (или BK) от концов этого ребра.
Таким образом, если K - середина ребра AB, то вместе с ней должны
быть отмечены мелом еще 11 точек (середины всех ребер), а если
K не совпадает с серединой, то вместе с ней должны быть
отмечены мелом еще 23 точки (всего по 2 точки на каждом ребре).
Пусть меловая точка K отмечена внутри одной из граней.
Тогда если K - центр грани, то вместе с ней должны
быть отмечены мелом еще 5 точек (центры других граней).
Если K отлична от центра, то вместе с ней должны
быть отмечены мелом еще 23 точки (еще 3 точки - L, M, N -
на той же грани, что и K, полученные из
K поворотами вокруг центра грани на углы
90
0, 180
0, 270
0,
а также по 4 точки на остальных
гранях, образующие такую же "картинку", как точки K, L, M, N).
Итак, мы видим, что все отмеченные мелом точки, за исключением
вершин (таких точек 100 или 92), должны разбиваться на группы по 6, 12
или
24 точек. Поэтому число таких точек должно делиться на 6.
Однако ни 100, ни 92 не делится на 6.
Мы получили противоречие, завершающее решение задачи.
Источники и прецеденты использования
