Условие
На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB
(С - точка на дуге AB)
этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и
дуги
ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через
фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.
Подсказка
Рассмотрите гомотетию с центром в точке Q, совмещающую окружности
S и S'.
Решение
Пусть D - середина дуги AB окружности S, дополнительной к дуге
ACB. Покажем, что прямая PQ всегда проходит через точку D.
Поскольку окружности S и S' касаются в точке Q, существует
гомотетия с центром в Q, переводящая окружность S' в окружность S.
При этой гомотетии точка P перейдет в некоторую точку P'
дуги ADB окружности S, лежащую на прямой PQ.
Кроме того, касательная к окружности S, проведенная в точке P',
должна быть параллельна касательной к окружности S', проведенной в
точке P (т.е. хорде AB).
Единственная точка на дуге ADB окружности S, касательная в которой
параллельна хорде AB - это точка D.
Поэтому P' совпадает с D, тем самым, утверждение задачи доказано.
Источники и прецеденты использования
