Условие
Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары
(a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a+b, c+d, e+f
можно было составить треугольник.
Подсказка
Можно взять три пары скрещивающихся ребер тетраэдра.
Решение
В произвольном тетраэдре ABCD рассмотрим три пары скрещивающихся
ребер (AB,CD), (AC,BD), (AD,BC).
Докажем, что величины AB+CD, AC+BD, AD+BC удовлетворяют
неравенству треугольника.
Будем доказывать, например, что AB+CD<AC+BD+AD+BC
(два оставшихся неравенства доказываются совершенно аналогично).
Запишем неравенства треугольника
для треугольников ABC, ABD, ACD, BCD:
AB<AC+BC; AB<AD+BD; CD<AC+AD; CD<BC+BD.
Складывая эти четыре неравенства, получаем:
2AB+2CD<2AC+2BD+2AD+2BC. Поделив на 2, получаем требуемое.
Источники и прецеденты использования
