Задача 35084

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что для любых различных положительных чисел a, b, c, d выполнено неравенство  ^a²/_b + ^b²/_c + ^c²/_d + ^d²/_a > a + b + c + d.

Подсказка

Воспользуйтесь тем, что  ^x²/_y > 2x – y  для различных положительных x и y.

Решение

Для любых различных положительных чисел x, y справедливо неравенство  ^x²/_y > 2x – y  (оно равносильно неравенствам  x² > 2xy – y²,  (x – y)² > 0).  Складывая неравенства  ^a²/_b > 2a – b,  ^b²/_c > 2b – c,  ^c²/_d > 2c – d,  ^d²/_a > 2d – a  получим неравенство, которое требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача