|
|
 |
Условие
На окружности отмечено n точек, причём известно, что для каждых двух отмеченных точек одна из дуг, соединяющих их, имеет величину, меньшую 120°. Докажите, что все точки лежат на одной дуге величиной 120°.
Подсказка
Выберите среди всех дуг (меньших 180°), соединяющих пары точек, наибольшую по величине и докажите, что все отмеченные точки лежат на этой дуге.
Решение
Среди всех дуг (меньших 180°), соединяющих пары отмеченных точек, выберем наибольшую по величине дугу AB; по условию её величина меньше 120°. Пусть A' и В' – точки, диаметрально противоположные точкам A и B. Окружность разбивается на четыре дуги: AB, BA', A'B' и B'A. Никакая отмеченная точка C не лежит на дуге BA', иначе величина ⌣AC > ⌣AB вопреки выбору дуги AB. Аналогично никакая отмеченная точка не лежит на дуге B'A.
Пусть отмеченная точка C лежит на дуге A'B'. Тогда окружность разбивается на три дуги AB, BC, CA, меньшие 180°. Сумма величин этих трёх дуг равна 360°, поэтому хотя бы одна из этих дуг имеет величину, не меньшую 360° : 3 = 120° вопреки условию.
Следовательно, все отмеченные точки расположены на дуге AB.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
