Задача 35101

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что все числа вида 1156, 111556, 11115556,... являются точными квадратами.

Подсказка

Посчитав корни из нескольких первых чисел данного ряда, можно усмотреть закономерность.

Решение

Пусть количество цифр в числе n=11...15..56 равно 2k. Тогда n=1111...1+44...4+1, где в первом слагаемом количество единиц равно 2k, во втором слагаемом количество четверок равно k. Число, которое записывается с помощью m единиц, равно (10^m-1)/9. Поэтому n=(10^2k-1)/9+4*(10^k-1)/9+1= (10^2k+4*10^k+4)/9= ((10^k+2)/3)². Остается заметить, что число ((10^k+2)/3) - натуральное (можно показать, что оно равно 33...34, где количество троек равно k- 1), так как число 10^k имеет остаток 1 от деления на 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача