Условие
Докажите, что все числа вида 1156, 111556, 11115556,...
являются точными квадратами.
Подсказка
Посчитав корни из нескольких первых чисел данного ряда,
можно усмотреть закономерность.
Решение
Пусть количество цифр в числе n=11...15..56 равно 2k.
Тогда n=1111...1+44...4+1, где в первом слагаемом количество
единиц равно 2k, во втором слагаемом количество четверок равно k.
Число, которое записывается с помощью m единиц, равно
(10
m-1)/9.
Поэтому n=(10
2k-1)/9+4*(10
k-1)/9+1=
(10
2k+4*10
k+4)/9=
((10
k+2)/3)
2.
Остается заметить, что число ((10
k+2)/3) - натуральное
(можно показать, что оно равно 33...34, где количество троек равно k-
1),
так как число 10
k имеет остаток 1 от деления на 3.
Источники и прецеденты использования
