Условие
На плоскости нарисовано несколько прямых (не меньше двух),
никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят
через одну точку.
Докажите, что среди частей, на которые эти прямые делят плоскость,
найдется хотя бы один угол.
Подсказка
Рассмотрите выпуклую оболочку
множества точек попарного пересечения прямых.
Решение
Рассмотрим множество точек пересечения P пар прямых.
Возьмем выпуклую оболочку множества P -
наименьший выпуклый многоугольник M,
содержащий это множество. Вершинами многоугольника M являются
некоторые из точек множества P.
Рассмотрим одну из вершин A многоугольника M,
а также прямые k и m, которые
пересекаются в точке A.
Возьмем луч прямой k с началом в A, который не пересекает
многоугольник M (точнее, пересекает многоугольник M по точке A).
Также возьмем луч прямой m с началом в A, который не пересекает
многоугольник M.
Эти два луча образуют угол, лежащий вне многоугольника M.
Понятно, что этот угол и является одной из частей,
на которые плоскость разделена прямыми.
Из приведенного рассуждения следует, что если количество прямых
не меньше трех, то среди частей плоскости найдутся хотя бы
3 угла, поскольку выпуклая оболочка множества точек P
имеет хотя бы 3 вершины.
Источники и прецеденты использования
