Задача 35120

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Покрытия ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Можно ли осветить круглую арену 100 прожекторами так, чтобы каждый из них освещал выпуклую фигуру, никакой из них не освещал всю арену, но любые два из них вместе уже освещали всю арену?

Подсказка

Каждый прожектор может освещать "почти всю" арену.

Решение

Рассмотрим некоторый выпуклый 100-угольник, вписанный в окружность - границу арены. Если вырезать этот 100-угольник, то останется 100 сегментов. Можно занумеровать сегменты числами от 1 до 100. Пусть k-ый прожектор освещает всю арену за исключением k-го сегмента (для k=1,2,...,100). Легко видеть, что при таком освещении арены условие задачи выполняется.

Ответ

можно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача