ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35127
Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Поворот (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли выпуклая фигура, не имеющая осей симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте?


Подсказка

Правильный треугольник переходит в себя при повороте на 120° вокруг его центра, однако он имеет оси симметрии. Постарайтесь пристроить к его сторонам одинаковые фигуры или отрезать от него одинаковые "уголки" так, чтобы у полученной фигуры осей симметрии не было.


Решение

Рассмотрим правильный треугольник ABC. Выберем на его сторонах AB, BC, CA точки C', A', B' так, что  AC' : BC' = BA' : CA' = CB' : AB' = 3 : 1;  далее выберем на сторонах AB, BC, CA точки C", A", B" так, что  AC" : BC" = BA" : CA" = CB" : AB" = 1 : 2.  Отрежем от треугольника  ABC треугольники B'AC", C'BA", A'CB".  Получим правильный треугольник с отрезанными "уголками". Полученная фигура выпукла, переходит в себя при повороте на 120° вокруг центра треугольника ABC, однако не имеет осей симметрии.


Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .