Задача 35132

Темы:    [ Системы точек ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек?

Подсказка

Прямую можно непрерывно двигать так, чтобы она оставалась параллельна самой себе, при этом точки будут постепенно переходить из одной части плоскости в другую.

Решение

Рассмотрим все прямые, соединяющие пары данных точек. Возьмём некоторую прямую l, которая не перпендикулярна ни одной из этих прямых. Введём на плоскости систему координат так, чтобы прямая l являлась осью Ox. Обозначим абсциссы данных точек в порядке возрастания x₁, x₂, ..., x₂₀₀₀ (эти числа различны в силу выбора прямой l). Проведём прямую, заданную уравнением  x = a,  где  a ∈ (x₁₀₀₀, x₁₀₀₁).  Как легко видеть, по каждую сторону от неё лежит ровно 1000 точек.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача