ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35144
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Пятиугольники ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1.
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?


Подсказка

Докажите, что удвоенные длины отрезков касательных от вершин пятиугольника до точек касания с окружностью являются целыми числами.


Решение

Пусть данный пятиугольник - ABCDE, причём  AB = CD = 1,  BC = k,  DE = m,  EA = n.  Обозначим через a, b, c, d, e длины отрезков касательных, проведённых соответственно из вершин пятиугольника A, B, C, D, E до точек касания с окружностью. Тогда  a + b = 1,  b + c = k,  c + d = 1,  d + e = m,
e + a = n
.  Значит,  2b = (a + b) + (b + c) + (d + e) – (c + d) – (e + a)  – целое число. Поскольку  a + b = 1,  то  b < 1,  то есть  b = ½.  Аналогично  c = ½.


Ответ

На два отрезка длины ½.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .