Задача 35145

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Существует ли тетраэдр, высоты которого равны 1, 2, 3 и 6?

Подсказка

Выразите площади граней тетраэдра через его объем и длины высот.

Решение

Предположим, что такой тетраэдр существует. Обозначим через V его объём, а через S₁, S₂, S₃, S₄ – площади граней. Тогда  3V = S₁ = 2S₂ = 3S₃ = 6S₄.  Отсюда  S₁ = S₂ + S₃ + S₄.  Однако в любом тетраэдре сумма площадей трёх граней больше площади четвёртой грани (пространственный аналог неравенства треугольника). Действительно, проекции трёх граней на четвёртую полностью покроют четвёртую грань, а площадь проекции грани меньше площади самой грани. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача