|
|
 |
Условие
Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной
прямой и непрерывную ровно в одной точке.
Подсказка
Можно отдельно определить функцию на множествах
рациональных и иррациональных точек.
Решение
Определим функцию f(x) равенствами f(x)=0 при рациональном x и f(x)=x при иррациональном x. Для любого положительного d при |x|<d |f(x)-f(0)|=|f(x)|<d, поэтому функция f(x) непрерывна в точке x=0. С другой стороны пусть a не равно 0. В любой окрестности точки x=a найдутся две точки x=b и x=c, такие что b рационально, а c - иррационально, причем иррациональное число c можно выбрать так, что |c-a|<|a|/2. Тогда в любой окрестности числа a для этих b и c из рассматриваемой окрестности выполнено |f(b)-f(c)|>|0-a/2|=|a/2|, что противоречит непрерывности функции f(x) в точке a.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
