Задача 35156

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Куб ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что в кубе можно проделать отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Подсказка

Решение

Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 и пространственный шестиугольник AA₁B₁C₁CDA (его вершины не лежат в одной плоскости). Оказывается, что сквозь этот шестиугольник(а значит, и сквозь куб) можно свободно, не задевая его сторон, протащить куб с ребром 1.

Чтобы убедиться в этом, изобразим на левом рисунке проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали BD₁. В силу симметрии куба эта проекция – правильный шестиугольник А′A′₁В′₁C′₁C′D′, где A′ – проекция точки A, A′₁ – проекция точки A′ и т. д. Таким образом, контур шестиугольника А′A′₁В′₁C′₁C′D′ – проекция пространственного шестиугольника АA₁В₁C₁CD, а в центр О правильного шестиугольника проектируются оба конца диагонали куба BD₁.

Поскольку синус угла между любым ребром куба и его диагональю равен (2/3)^1/2, сторона правильного шестиугольника равна (2/3)^1/2, а радиус вписанной в него окружности равен 2^1/2/2 – половине диагонали квадрата со стороной 1. Поэтому в шестиугольнике целиком, не задевая его сторон, поместится квадрат с центром в точке O и стороной 1, как показано на правом рисунке.

Отсюда вытекает, что если поставить куб с ребром 1 так, чтобы его нижняя грань совпала с квадратом на правом рисунке, и двигать куб перпендикулярно плоскости шестиугольника, то куб не заденет сторон шестиугольника. Значит, его можно также протащить и сквозь пространственный шестиугольник вдоль диагонали BD₁.

Таким образом, в деревянном кубе можно пробить сквозную дыру, через которую можно протащить такой же (на самом деле, даже чуть больший) куб — см. рисунок ниже.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача