ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35156
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Куб ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в кубе можно проделать отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Подсказка


Решение

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 и пространственный шестиугольник AA1B1C1CDA (его вершины не лежат в одной плоскости). Оказывается, что сквозь этот шестиугольник(а значит, и сквозь куб) можно свободно, не задевая его сторон, протащить куб с ребром 1.

Чтобы убедиться в этом, изобразим на левом рисунке проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали BD1. В силу симметрии куба эта проекция – правильный шестиугольник А′A′1В′1C′1C′D′, где A′ – проекция точки A, A′1 – проекция точки A′ и т. д. Таким образом, контур шестиугольника А′A′1В′1C′1C′D′ – проекция пространственного шестиугольника АA1В1C1CD, а в центр О правильного шестиугольника проектируются оба конца диагонали куба BD1.

Поскольку синус угла между любым ребром куба и его диагональю равен (2/3)1/2, сторона правильного шестиугольника равна (2/3)1/2, а радиус вписанной в него окружности равен 21/2/2 – половине диагонали квадрата со стороной 1. Поэтому в шестиугольнике целиком, не задевая его сторон, поместится квадрат с центром в точке O и стороной 1, как показано на правом рисунке.

Отсюда вытекает, что если поставить куб с ребром 1 так, чтобы его нижняя грань совпала с квадратом на правом рисунке, и двигать куб перпендикулярно плоскости шестиугольника, то куб не заденет сторон шестиугольника. Значит, его можно также протащить и сквозь пространственный шестиугольник вдоль диагонали BD1.

Таким образом, в деревянном кубе можно пробить сквозную дыру, через которую можно протащить такой же (на самом деле, даже чуть больший) куб — см. рисунок ниже.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .