Задача 35176

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Подсказка

Воспользуйтесь разложением выражения  (10 + 1)¹⁰⁰  по биному Ньютона.

Решение

S = (10 + 1)¹⁰⁰ – 1 = ... + (100·99·98 : 6) ·10³ + (100·99 : 2)·10² + 100·10 + 1 = ... + (33·49)·10⁵ + 495000 + 1000 = A + 496000,  где все члены на месте троеточия делятся на 10⁴, то есть A оканчивается по крайней мере на четыре нуля. Отсюда следует, что число S оканчивается на три нуля (а четвёртая с конца цифра числа S равна 6).

Ответ

Три нуля.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.031
web-сайт
задача