ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35179
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о сумме углов треугольника и законом "угол падения равен углу отражения".

Решение

По условию четырехугольник KLMN, вписанный в четырехугольник ABCD, является замкнутой биллиардной траекторией. Пользуясь тем, что угол падения равен углу отражения, можно ввести следующие обозначения: углы AKN и BKL обозначим за x, углы BLK и CLM обозначим за y, углы CML и DMN обозначим за z, углы DMN и ANK обозначим за t. Пользуясь тем, что сумма углов в треугольнике равна 1800, из треугольников NAK, KBL, LCM, MDN получаем, что угол DAB равен 1800-t-x, угол ABC равен 1800-x-y, угол BCD равен 1800-y-z, угол CDA равен 1800-z-t. Отсюда следует, что в четырехугольнике ABCD сумма углов DAB и BCD равна сумме углов ABC и CDA (и равна 3600-t-x-y-z). Поскольку сумма углов четырехугольника равна 3600, то каждая из этих сумм равна 1800. Итак, мы получаем, что в четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 1800, следовательно, ABCD - вписанный четырехугольник, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .