|
|
 |
Условие
На клетчатой плоскости со стороной клетки 1 нарисован круг радиуса 1000.
Докажите, что суммарная площадь клеток, целиком лежащих внутри
этого круга, составляет не менее 99% площади круга.
Подсказка
Круг радиуса 998, имеющий тот же центр, что и исходный круг,
полностью покрывается клетками, целиком содержащимися внутри исходного круга.
Решение
Покрасим все клетки, целиком содержащиеся внутри исходного круга. Рассмотрим круг S радиуса 998, имеющий тот же центр, что и исходный круг. Покажем, что весь этот круг оказался покрашенным. Пусть напротив, некоторая точка A круга S оказалась непокрашенной. Это означает, что найдется точка B, лежащая вне исходного круга, такая что A и B принадлежат одной клетке. Обозначим через O общий центр кругов. Тогда длина OA не больше 998, а длина OB не меньше 1000. Согласно неравенству треугольника AB не меньше, чем OB-OA, т.е. AB не меньше 2. Однако нетрудно проверить, что максимальное расстояние между двумя точками из одной клетки со стороной 1 не превосходит длины диагонали клетки, равной 21/2, что меньше 2. Таким образом, мы пришли к противоречию, предположив, что не весь круг S покрашен. Таким образом, круг S покрашен, и следовательно, доля покрашенной части исходного круга оценивается снизу отношением площадей круга S и исходного круга. Отношение площадей кругов равно отношению квадратов радиусов, поэтому покрашенная доля составляет не менее 9982/10002=(1-0,002)2, что равно 1-2*0,002+0,0022, что в свою очередь больше 0,99.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
