Условие
На клетчатой плоскости со стороной клетки 1 нарисован круг радиуса 1000.
Докажите, что суммарная площадь клеток, целиком лежащих внутри
этого круга, составляет не менее 99% площади круга.
Подсказка
Круг радиуса 998, имеющий тот же центр, что и исходный круг,
полностью покрывается клетками, целиком содержащимися внутри исходного круга.
Решение
Покрасим все клетки, целиком содержащиеся внутри исходного круга.
Рассмотрим круг S радиуса 998, имеющий тот же центр, что и исходный круг.
Покажем, что весь этот круг оказался покрашенным.
Пусть напротив, некоторая точка A круга S оказалась непокрашенной.
Это означает, что найдется точка B, лежащая вне исходного круга,
такая что A и B принадлежат одной клетке.
Обозначим через O общий центр кругов. Тогда длина OA не
больше 998, а длина OB не меньше 1000.
Согласно неравенству треугольника
AB не меньше, чем OB-OA, т.е. AB не меньше 2.
Однако нетрудно проверить, что максимальное расстояние между
двумя точками из одной клетки со стороной 1 не превосходит
длины диагонали клетки, равной 2
1/2, что меньше
2. Таким образом, мы пришли к противоречию, предположив, что
не весь круг S покрашен. Таким образом, круг S покрашен, и следовательно,
доля покрашенной части исходного круга оценивается снизу отношением
площадей круга S и исходного круга.
Отношение площадей кругов равно отношению квадратов радиусов,
поэтому покрашенная доля составляет не менее
998
2/1000
2=(1-0,002)
2,
что равно 1-2*0,002+0,002
2, что в свою очередь больше 0,99.
Источники и прецеденты использования
