Задача 35183

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Внутри угла расположены три окружности S₁, S₂, S₃, каждая из которых касается двух сторон угла, причем окружность S₂ касается внешним образом окружностей S₁ и S₃. Известно, что радиус окружности S₁ равен 1, а радиус окружности S₃ равен 9. Чему равен радиус окружности радиус окружности S₂?

Подсказка

Гомотетия с центром в вершине угла, переводящая окружность S₁ в окружность S₂, также переводит окружность S₂ в окружность S₃.

Решение

Рассмотрим гомотетию H с центром в вершине угла, переводящую окружность S₁ в окружность S₂. Окружность S₂ при применении этой гомотетии переходит в окружность, касающуюся сторон угла и касающуюся внешним образом окружности H(S₁)=S₂; таким образом, окружность S₂ при применении гомотетии переходит в окружность S₃. Обозначим через R_i радиус окружности S_i, i=1,2,3, и через k коэффициент гомотетии H. Тогда R₂=kR₁ и R₃=kR₂, откуда R₂²=R₁R₃. Подставляя значения R₁=1 и R₃=9, окончательно получаем, что R₂²=9 и R₂=3.

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача