ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35183
Тема:    [ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри угла расположены три окружности S1, S2, S3, каждая из которых касается двух сторон угла, причем окружность S2 касается внешним образом окружностей S1 и S3. Известно, что радиус окружности S1 равен 1, а радиус окружности S3 равен 9. Чему равен радиус окружности радиус окружности S2?

Подсказка

Гомотетия с центром в вершине угла, переводящая окружность S1 в окружность S2, также переводит окружность S2 в окружность S3.

Решение

Рассмотрим гомотетию H с центром в вершине угла, переводящую окружность S1 в окружность S2. Окружность S2 при применении этой гомотетии переходит в окружность, касающуюся сторон угла и касающуюся внешним образом окружности H(S1)=S2; таким образом, окружность S2 при применении гомотетии переходит в окружность S3. Обозначим через Ri радиус окружности Si, i=1,2,3, и через k коэффициент гомотетии H. Тогда R2=kR1 и R3=kR2, откуда R22=R1R3. Подставляя значения R1=1 и R3=9, окончательно получаем, что R22=9 и R2=3.

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .