ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 35189
УсловиеКаково максимальное значение, которое может принимать
площадь проекции правильного тетраэдра с ребром 1?
ПодсказкаЕсли проекция - четырехугольник, то длина каждой из его диагоналей
не больше 1.
РешениеРассмотрим два возможных случая.
1. Проекция тетраэдра - треугольник. Тогда длина каждой из его
сторон не больше 1 (при проектировании длина отрезка может только
уменьшиться).
Обозначим две из сторон треугольника a и b, и пусть C - величина
угла между этими сторонами. Из формулы площади треугольника
вытекает, что площадь проекции равна ab*sin(С)/2,
что не превосходит 1/2.
2. Проекция тетраэдра - четырехугольник.
Диагонали этого четырехугольника являются проекциями некоторых
ребер тетраэдра, поэтому длина каждой из диагоналей не больше 1.
Обозначим длины диагоналей через d1, d2,
и пусть U - величина
угла между этими диагоналями.
Из формулы площади четырехугольника
вытекает, что площадь проекции равна d1d2*sin(U)/2,
что не превосходит 1/2.
Осталось убедиться, что найдется плоскость, проекция на которую
имеет площадь в точности 1/2.
Нетрудно проверить, что плоскость, параллельная паре
скрещивающихся ребер тетраэдра, обладает нужным свойством:
проекция тетраэдра на эту плоскость есть квадрат с диагональю 1.
Ответ0.50 Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке