Задача 35192

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сколько целых чисел от 1 до 2001 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Подсказка

Докажите, что в каждом полном десятке по два числа с суммой цифр, кратной 5.

Решение

  Все числа от 1 до 2001 разобьём на десятки: два неполных, в первый из которых входят числа от 1 до 9, а во второй – числа 2000 и 2001, и 199 полных десятков - от 10 до 19, от 20 до 29, ..., от 1990 до 1999. В неполных десятках имеется лишь одно число с суммой цифр, кратной 5 (непосредственно проверяется).
  В полном десятке сумма цифр каждого следующего числа по модулю 5 получается из суммы цифр предыдущего прибавлением единицы. Значит, в каждом таком десятке есть ровно два числа с суммой цифр, кратной 5.
  Следовательно, интересующих нас чисел  1 + 2·199 = 399.

Ответ

399.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача