ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35203
Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 900. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным 21/2, один из которых содержит M, а другой - содержится в M.

Подсказка

Рассмотрим вершины многоугольника, наиболее удаленные от центра поворота, переводящего многоугольник в себя.

Решение

Рассмотрим центр O поворота, переводящего многоугольник в себя. Рассмотрим вершину A многоугольника, наиболее удаленную от O. Весь многоугольник содержится в круге S с центром O и радиусом R=OA. Вместе с точкой A вершинами многоугольника являются точки B, C, D, которые получаются из A поворотами на углы 900, 1800, 2700 вокруг точки O. Точки A, B, C, D являются вершинами квадрата с центром O. Поскольку многоугольник выпуклый, весь квадрат ABCD принадлежит многоугольнику. Следовательно, вписанный в него круг s также содержится в многоугольнике. Радиус круга s равен r=OA/21/2=R/21/2. Как видим, круги S и s удовлетворяют условию задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .