Задача 35213

Тема:    [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна S, а сумма обратных величин первых n членов этой прогрессии равна R. Найдите произведение первых n членов этой прогрессии.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии; обратные величины к членам геометрической прогресии также образуют геометрическую прогрессию.

Решение

Обозначим через a первый член прогрессии, и через q - ее знаменатель. Тогда по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии получаем, что S=a+aq+aq²+...+aq^n-1 = a(qⁿ-1)/(q-1). Обратные величины 1/a, 1/(aq), ... , 1/(aq^n-1) к членам геометрической прогресии также образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1/a и знаменателем 1/q. Отсюда R = 1/a+1/(aq)+1/(aq²)+...+1/(aq^n-1) = 1/a(1/qⁿ-1)/(1/q-1) = (1/(aq^n-1))(qⁿ-1)/(q-1). Из выражений, полученных для S и R, вытекает, что S/R = a²q^(n-1). Произведение первых n членов прогрессии равно P = a(aq)(aq²)...(aq^n-1) = aⁿq^{1+2+...+(n-1)} = aⁿq^n(n-1)/2. Возводя равенство S/R = a²q^(n-1) в степень (n/2), получаем, что (S/R)^n/2 = aⁿq^n(n-1)/2 = P.

Ответ

(S/R)^n/2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача