Задача 35218

Тема:    [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 7,8

Условие

Даны 10 различных положительных чисел. В каком порядке их нужно обозначить a₁, a₂, ... , a₁₀, чтобы сумма a₁+2a₂+3a₃+...+10a₁₀ была наибольшей?

Подсказка

Проследите, как изменится сумма, если поменять местами какую-то пару чисел a_i, a_j.

Решение

В самом деле, пусть числа расположены не в порядке возрастания, т.е. при некоторых i и j, i<j, выполнено a_i>a_j. Поменяем числа a_i и a_j местами и покажем, что сумма при этом возрастет. Изменение суммы равно R = ja_i+ia_j-ia_i-ja_j = (j-i)(a_i-a_j), что больше 0, так как каждый из сомножителей (j-i), (a_i-a_j) положителен.

Ответ

числа нужно расположить в порядке возрастания.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача