|
|
 |
Условие
Известно, что в тетраэдре ABCD окружности, вписанные в грани ABC и BCD, касаются.
Докажите, что окружности, вписанные в грани ABD и ACD, также касаются.
Подсказка
Оба условия, о которых идет речь в задаче, эквивалентны равенству AB + CD = AC + BD.
Решение
Пусть окружности, вписанные в грани ABC и BCD, касаются в точке O. Точка O, тем самым, является точкой касания вписанных окружностей треугольников ABC и BCD со стороной BC. По известной формуле расстояния от вершины треугольника до точки касания со вписанной окружностью
½ (AB + BC – AC) = BO = ½ (BD + BC – CD), то есть AB – BD = AC – CD. Обозначим через P и Q точки касания стороны AD с вписанными окружностями треугольников ABD и ACD соответственно. Тогда AP = ½ (AB + AD – BD) = ½ (AC + AD – CD) = AQ. Следовательно, точки P и Q совпадают, что и означает касание вписанных окружностей треугольников ABD и ACD.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
