ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35228
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Куб ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано 16 кубов с длинами рёбер соответственно 1, 2, ..., 16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны суммарные объёмы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин рёбер и количество кубов.


Подсказка

Любые 2n чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы в обеих группах были равны количества чисел, суммы чисел, суммы квадратов, ..., суммы (n–1)-х степеней.


Решение

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую – оставшиеся кубы. Можно убедиться, что условие задачи выполнено.

Замечания

  Докажем по индукции, что любые 2n чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы для любого многочлена степени не выше  n – 1  сумма значений этого многочлена в числах из одной группы была равна сумме значений этого многочлена в числах из другой группы.
  База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции. Обозначим  m = 2k.  Пусть имеется арифметическая прогрессия a1, ..., am, b1, ..., bm из  2m = 2k+1  членов. Разделим числа a1, ..., am на две группы A' и A'' так, чтобы выполнялось предположение индукции. Потом разделим числа b1, ..., bm на группы B' и B'' так, чтобы bi входило в группу B' тогда и только тогда, когда ai входит в группу A'. Объединим теперь A' c B'' и A'' с B'. Покажем, что этим получено нужное разбиение чисел a1, ..., am, b1, ..., bm.
  Рассмотрим некоторый многочлен P(x) степени не выше k и докажем, что сумма значений P(x), где x пробегает числа из одной группы, равна сумме значений P(x), где x пробегает числа из другой группы. Обозначим  c = bi – ai  (напомним, что разности   bi – ai  одинаковы при всех i от 1 до m). Рассмотрим разности  R(ai) = P(bi) – P(ai) = P(ai + c) – P(ai).  Достаточно показать, что сумма величин R(ai) по всем ai из A' равна сумме величин R(ai) по всем ai из A''. Но это следует из предположения индукции, поскольку в разности  P(ai + c) – P(ai)  многочленов от ai сокращается старшая степень, то есть P(ai) является многочленом от ai степени не выше  k – 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .