Задача 35233

Тема:    [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Числа a, b, p, q, r, s – натуральные, причём  ^p/_q < ^a/_b < ^r/_s  и  qr – ps = 1.  Докажите, что  b ≥ q + s.

Подсказка

Для оценки знаменателя b используйте положительность величин  aq – bp  и  br – as.

Решение

Числитель разности  ^a/_b – ^p/_q,  равный  aq – bp  положителен, а значит, не меньше 1. Аналогично,  br – as ≥ 1.  Следовательно,
b = b(qr – ps) = s(aq – bp) + q(br – as) ≥ s + q.

Замечания

Результат этой задачи связан с рядом Фарея (см. задачу 78839).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача