Задача 35234

Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

В круг радиуса 1 вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17.

Подсказка

Можно отдельно оценить сумму сторон и сумму диагоналей пятиугольника.

Решение

Так как длина каждой диагонали пятиугольника не больше диаметра окружности, то сумма длин диагоналей не больше  5·2 = 10.  Сумма длин сторон пятиугольника меньше длины окружности, поскольку длина каждой стороны меньше длины дуги, которую она стягивает. Таким образом, cумма длин сторон меньше  2π < 7,  а общая сумма меньше  10 + 7 = 17.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача