Задача 35235

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите все натуральные n, для которых  2ⁿ ≤ n².

Подсказка

Показательная функция растет быстрее квадратичной. Пользуясь индукцией по n, покажите, что при  n > 4  выполнено  2ⁿ > n².

Решение

  Непосредственная проверка показывает, что значения  n = 2, 3, 4  подходят, а  n = 1  – нет.
  Докажем индукцией по n, что  2ⁿ > n²  при  n > 4.  База  (n = 5)  очевидна.
  Шаг индукции.  2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2n² > (n + 1)².  В самом деле,  2n² – (n + 1)² = (n² – 2n + 1) – 2 = (n – 1)² – 2 > 0  при  n > 4.

Ответ

2, 3, 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача