Условие
В прямоугольник со сторонами 20 и 25
бросают 110 квадратов со стороной 1.
Докажите, что в прямоугольник можно
поместить круг диаметром 1,
не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Подсказка
Раздуйте каждый квадрат К до квадрата со стороной 2;
если некоторая точка O находится вне раздутого квадрата, то
круг диаметра 1 с центром в точке O
не будет пересекаться с квадратом К.
Решение
Рассмотрим некоторый квадрат К со стороной 1.
Рассмотрим квадрат К' со стороной 2, имеющий тот же центр, что и
К, и стороны которого параллельны сторонам квадрата К.
Если некоторая точка O находится вне квадрата K', то расстояние от
нее до любой точки квадрата К больше 1/2.
Таким образом, круг диаметра 1 с центром в точке O
не будет пересекаться с квадратом К.
"Раздуем" теперь каждый из 110 квадратов, находящихся внутри
данного прямоугольника П со сторонами 20 и 25, до квадрата со стороной 2.
Раздутые квадраты покрывают площадь, не большую
2
2*110=440.
Рассмотрим прямоугольник П' размером 19*24, который получается из
данного прямоугольника П отрезанием каемки шириной 1/2.
Площадь прямоугольника П' равна 19*24=456, что больше 440.
Отсюда следует, что в прямоугольнике П' найдется точка O, не
покрытая раздутыми квадратами.
Тогда круг диаметра 1 с центром в точке O во-первых не будет
пересекаться ни с одним из данных 110 квадратов со стороной 1, а
во-вторых будет лежать внутри прямоугольника П (так как расстояние от
O до границы прямоугольника П не меньше 1/2).
Источники и прецеденты использования
