Задача 35248

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что произведение цифр любого натурального числа, большего 9, меньше самого числа.

Подсказка

Оцените произведение цифр, заменив каждую цифру, кроме первой, десяткой.

Решение

Пусть число N записывается в десятичной записи цифрами a₀, a₁, a₂, ..., a_n, n>0. Тогда произведение цифр числа N равно P = a₀a₁a₂...a_n, что меньше a₀*10ⁿ, так как каждая из цифр a₁, a₂, ..., a_n меньше 10. Число a₀*10ⁿ имеет в десятичной записи цифру a₀ и n нулей, следующих за ней. Поэтому a₀*10ⁿ не больше, чем N.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача