|
|
 |
Условие
На плоскости даны 2004 точки. Запишем все попарные расстояния между ними.
Докажите, что среди записанных чисел не менее тридцати различных.
Подсказка
В противном случае все точки, кроме одной, расположены на 29 окружностях.
Решение
Предположим, что имеется контрпример. Выберем одну из данных точек – A. Поскольку расстояние от точки A до любой другой точки принимает менее 30 различных значений, то оставшиеся 2003 точки лежат на 29 окружностях с центром A. Поскольку 69·29 = 2001 < 2003, на одной из этих окружностей расположено не менее 70 точек. Рассмотрим только точки на этой окружности (назовём её S) и выберем одну из точек – B. Оставшиеся 69 точек расположены на 29 окружностях с центром B. Однако каждая из этих окружностей имеет не более двух общих точек с окружностью S, а 2·29 < 69. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
