Задача 35250

Тема:    [ Стереометрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите точки на поверхности куба, из которых большая диагональ видна под наименьшим углом.

Подсказка

Рассмотрите сферу, описанную около куба.

Решение

Опишем вокруг куба сферу. Большая диагональ куба является диаметром этой сферы. Таким образом, поверхность сферы есть множество точек, из которых диагональ видна под углом 90⁰. Из любой точки внутри сферы диагональ видна под углом больше 90⁰. В самом деле, пусть AB - диаметр сферы и C - некоторая точка внутри сферы. Продолжим AC за точку C до пересечения со сферой в точке D. В треугольнике ADB угол ADB прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Угол ACB - внешний для треугольника CBD, поэтому угол ACB равен сумме углов ADB и DBC, следовательно, угол ACB больше 90⁰. Итак, большая диагональ видна под наименьшим углом только из общих точек поверхности куба и описанной сферы, т.е. из вершин куба.

Ответ

вершины куба.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача