Задача 35251

Тема:    [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m^2+n$ и $n^2+m$ одновременно являются квадратами?

Подсказка

Если $m > n$, то $m^2+n$ слишком близко к $m^2$.

Решение

Пусть для определенности $m$ не меньше, чем $n$. Предположим, что $m^2+n$ является точным квадратом, т.е. $m^2 + n = k^2$ для некоторого натурального $k$. Тогда, очевидно, $k > m$. Запишем $(m+1)^2 = m^2 + 2 m + 1 > m^2 + n = k^2$. Отсюда следует, что $m + 1 > k$. Таким образом, $m < k < m+1$. Это противоречит тому, что $k$ – натуральное число, таким образом, $m^2+n$ не является точным квадратом.

Ответ

не существуют.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача