Задача 35257

Тема:    [ Формулы сокращенного умножения ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Условие

Доказать, что если b=a-1, то

(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)…(a³²+b³²)=a⁶⁴-b⁶⁴.

Подсказка

Запишите равенство 1=a-b и воспользуйтесь формулой k²-n²=(k-n)(k+n)

Решение

Запишем равенство 1=a-b и воспользуемся формулой k²-n²=(k-n)(k+n) (Если вы не знакомы с формулами сокращенного умножения, докажите эту формулу: перемножьте выражение в правой части.). Запишем выражение 1*(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)…(a³²+b³²)= (a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)…(a³²+b³²)= (a²-b²)(a²+b²)(a⁴+b⁴)…(a³²+b³²)= (a⁴-b⁴)(a⁴+b⁴)(a⁸+b⁸)(a¹⁶+b¹⁶)(a³²+b³²)= (a⁸-b⁸)(a⁸+b⁸)(a¹⁶+b¹⁶)(a³²+b³²)= (a¹⁶-b¹⁶)(a¹⁶+b¹⁶)(a³²+b³²)= (a³²-b³²)(a³²+b³²)=a⁶⁴-b⁶⁴

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача