Задача 35278

Тема:    [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Условие

Дорожно-ремонтная организация "Тише едешь - дальше будешь" занимается укладкой асфальта. Организация взяла обязательство покрыть асфальтом 100-километровый участок дороги. В первый день был заасфальтирован 1 км дороги. Далее, если уже заасфальтировано x км дороги, то в следующий день организация покрывает асфальтом еще 1/x км дороги. Докажите, что все же наступит тот день, когда организация "Тише едешь - дальше будешь" выполнит свое обязательство.

Подсказка

Проследите, как с каждым днем меняется квадрат числа покрытых асфальтом километров.

Решение

Пусть после n-ого дня асфальтом покрыто a_n километров дороги. Тогда по условию a₁=1 и a_n+1=a_n+1/a_n. Возведем данное равенство в квадрат, получим: a_n+1² = a_n²+2+(1/a_n)². Таким образом, a_n+1² > a_n²+2. Мы видим, что последовательность a_n² возрастает на каждом шаге по крайней мере на 2. Отсюда следует, что a₅₀₀₁² > 2*5000 = 100² и a₅₀₀₁ > 100. Таким образом, обязательство будет выполнено не позже, чем на 5001 день.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача