Задача 35280

Тема:    [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что 1/2²+1/3²+1/4²+…+1/n²<1

Подсказка

Сведите к доказательству неравенства 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/((n-1)*n)<1.

Решение

Увеличим дробь, заменив один множитель в знаменателе на меньшее число: 1/2²+1/3²+1/4²+…+1/n²< 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/((n-1)*n)= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/(n-1)-1/n)<1-1/n<1. Заметьте, что первое число в скобке сокращается со вторым числом из предыдущей скобки.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача