Задача 35308

Тема:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Обратите внимание, что значение  1!·1 + 2!·2 + 3!·3 + ... + n!·n  равно 1, 5, 23, 119 для  n = 1, 2, 3, 4  соответственно.
Установите общий закон и докажите его.

Подсказка

(n + 1)! = n!·(n + 1).

Решение

Воспользуемся равенством  n!·n = (n + 1)! – n!  и преобразуем данное выражение:
1!·1 + 2!·2 + 3!·3 + ... + n!·n = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ... + ((n + 1)! – n!) = (n + 1)! – 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача