Задача 35321

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Внутри круга нарисована точка. Покажите, что можно разрезать круг на две части так, чтобы из них можно было составить круг, в котором отмеченная точка являлась бы центром.

Подсказка

Границей разреза должна быть дуга окружности с центром в нарисованной точке.

Решение

Пусть O - центр данного круга S, а A - нарисованная точка. Если A совпадает с O, то перекраивать нечего. Иначе проведем окружность S' с центром в A и радиусом, равным радиусу круга S. Эта окружность разобьет круг S на две части. Первая из этих частей содержит точки A и O и симметрична относительно серединного перпендикуляра m, проведенного к отрезку AO. Эту часть оставим на месте. Вторую часть (имеющую форму "месяца") переложим так, чтобы она заняла положение, симметричное своему начальному положению относительно m. После этого первая и вторая часть заполняют внутренность окружности S'. Тем самым, требуемое перекраивание круга проделано.
Приведем также другое решение.
Сделаем разрез по окружности, проходящей через точки O и А и целиком лежащей в заданном круге. Получается два куска: один — круг, а другой — несимметричное кольцо. Теперь поворачиваем круг вокруг его центра до совпадения точки А с центром круга S — точкой O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача