Задача 35344

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если a, b, c – нечётные числа, то хотя бы одно из чисел  ab – 1,  bc – 1,  ca – 1  делится на 4.

Подсказка

Рассмотрите остатки от деления данных чисел на 4 и воспользуйтесь принципом Дирихле.

Решение

Так как числа a, b, c нечётны, то при делении на 4 они могут дать остатки 1 или 3. Следовательно, по крайней мере два из них имеют один остаток. числа. Пусть это a, b и остаток 3 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда  ab – 1 = (4k + 3)(4n + 3) – 1 = 16kn + 12(k + n) + 8,  что делится на 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача