Задача 35367

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что уравнение  x^x + 2y^y = z^z  не имеет решений в натуральных числах.

Подсказка

Если  z > x  и  z > y,  то правая часть уравнения больше левой.

Решение

Заметим, что  z > x  и  z > y  (иначе левая часть больше правой). Таким образом, левая часть не превосходит числа  (z – 1)^z–1 + 2(z – 1)^z–1 = 3(z – 1)^z–1.  Если
z ≥ 3,  то  3(z – 1)^z–1 < z·z^z–1 = z^z,  то есть левая часть меньше правой. Если же  z = 2,  то  3(z – 1)^z–1 = 3,  а  z^z = 4,  и снова левая часть меньше правой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача